Ausstellung ?Mathe? — Einfach sch?n!” Rationale Funktion Polar-Darstellung
Dokumentation
Die obigen Bilder verwenden über?wiegend die Funk?tionen $$ p(z) = \prod_{i=0..5}(z-z_i) \text{ und }q(z) = \prod_{i=6..10}(z-z_i) $$
Dabei ist der Para?meter $ z $ eine kom?plexe Zahl, die aus den karte?sischen Koor?di?naten eines Bild?punk?tes gebil?det wird. Die Null?stelle $ z_0 $ des Poly?noms $ p $ liegt im Ursprung; die anderen fünf mit den In?di?zes 1 bis 5 liegen gleich?m??ig auf einem Kreis darum herum. Die Null?stellen $ z_6 $ bis $ z_{10} $ des Poly?noms? $ q $ liegen gleich?m??ig auf einem Kreis mit halbem Radius des $ p $ -Kreises und gegen diesen um 36° gedreht.
Jeder Punkt eines Bil?des wird als kom?plexe Zahl $ z $ auf?ge?fasst und mit einer ratio?nalen Funk?tion $ \frac{p}{q} $ oder $ \frac{q}{p} $ abge?bil?det auf den Wert $ f_Z $ ; dies ist eben?falls eine komplexe Zahl. Deren Argu?ment wird mit dem Far?ben?kreis in die Farbe umge?rech?net, in der der Bild?punkt $ z $ ge?zeich?net wird. Die Hellig?keit des Punktes wird mittels einer Kombi?na?tion aus Betrag und Argument, jeweils trans?formiert mit Loga?rithmus, Cosi?nus und Expo?nen?tia?tion, bestimmt. Oben links wirkt nur der Betrag, oben rechts die Summe von Betrag und Argu?ment, unten links deren Produkt und unten rechts –?nicht ganz ernst gemeint?– ihre Differenz. Mit dem Produkt kann man Gitter?linien der Polar?koor?dinaten aller $ f_Z $ erzeugen, mit der Summe hingegen eher deren Schnitt?punkte hervorheben. Die Diffe?renz sieht nur nett aus.
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Als Besonderheit ist zu erw?h?nen, da? das Bild unten links $ \frac{p}{q} $ ver?wen?det mit ei?ner zus?tz?li?chen zen?tra?len Null?stelle. Dies kann man sogar am Bild erken?nen: wenn man den Ursprung in gro?em Abstand uml?uft, so da? alle Null?stel?len und Pole inner?halb (d.h. in Lauf?rich?tung links) die?ses Weges lie?gen, durch?l?uft man den Far?ben?kreis zwei?mal in posi?tiver Rich?tung: rot, gelb, grün, cyan (=türkis), blau, magenta (=lila) und wieder rot.
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Allgemein sorgt jede Null?stelle inner?halb einer Kurve für einen der?ar?ti?gen Farb-Umlauf, und jeder Pol darin wirkt ent?ge?gen?ge?setzt: die Farben werden in umge?kehr?ter Rich?tung durch?laufen. Sum?miert man die Anzahl der Null?stel?len und zieht die Anzahl der Pole ab, die von einer Kurve in mathe?ma?tisch posi?ti?ver Rich?tung (im Gegen?uhr?zei?ger?sinn) umlau?fen wer?den, so er?h?lt man die Anzahl der posi?ti?ven Uml?u?fe durch den Farben?kreis auf dieser Kurve. Damit k?nnen Sie selber be?stim?men, ob ein Bild $ \frac{p}{q} $ oder $ \frac{q}{p} $ zeigt.